NUMERICAL SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM FOR THE ACOUSTIC EQUATION
Ключевые слова:
уравнение акустики, задача продолжения, метод обращения разностных схем, алгоритм решения обратной задачиАннотация
В этой статье рассматривается задача продолжения для одномерного уравнения
акустики. В настоящее время одним из наиболее сложных направлений исследовательской работы
прикладной математики является обратная задача распространения волн, имеющая важнейшую
область применения в геофизике и медицине. Распространение акустической волны в неоднородной
среде и измерение части звука специальными устройствами приводят к начально-краевой задаче для
уравнения частных производных. Большинство из этих задач являются некорректными. Одним из
таких некорректных задач является задача продолжения. Основой задачи продолжения является
нахождение значения искомой функции в остальной части границы с помощью дополнительных
данных в определенной части границы. В связи с этим задачу продолжения мы приводим к обратной
граничной задаче. Существует множество способов для решения граничных обратных задач, таких
как метод градиентов.
В этой статье мы построим конечную разностную схему этой обратной задачи и найдем из
этого разностного уравнения неизвестную функцию в характеристике методом обращения
разностной схемы. Эффективность этого метода заключается в том, что вычислительный алгоритм
является простым и быстрым. Чтобы проверить правильность любого метода или алгоритма, мы
сначала решаем задачу поставив конкретную функцию, затем находим дополнительную
информацию и решаем обратную задачу. Обратную задачу сравниваем с решением задачи именно с
реальной функцией. Кроме того, на практике часто встречается, что во многих случаях
дополнительная информация передается с определенными ошибками. Поэтому устойчивость
алгоритма проверялась путем включения в дополнительную информацию ошибок различного
уровня. Приведены численные расчеты и графики этих числовых результатов.
